切比雪夫多项式是什么，有什么特点？

切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff,1821一1894)的名字命名的重要的特殊函数,又分为第一类切比雪夫多项式Tn和第二类切比雪夫多项式Un---它们简称切比雪夫多项式。

这是源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式,是与棣美弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列,是计算数学中的一类特殊函数,对于注入连续函数逼近问题,阻抗变换问题等等的数学、物理学、技术科学中的近似计算有着非常重要的作用。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为切比雪夫节点)可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

基本性质

对每个非负整数n, Tn(x) 和 Un(x) 都为 n次多项式。 并且当n为偶(奇)数时,它们是关于x 的偶(奇)函数, 在写成关于x的多项式时只有偶(奇)次项。

n≥1时,Tn的最高次项系数为2^(n-1),n=0时系数为1。

Tn =cos(n*arccosx).

性质:1.由棣莫弗公式得它们都是n次多项式

2.在[-1,1]内有n个单根

3.在[-1,1]内有n+1个极值点,且极大值与极小值交替出现

4.如果将其改为首项系数为1的多项式,则其极值为1/2^(n-1)

5.切比雪夫多项式关于权函数1/(1-x^2)^(1/2)正交

6.令Πn为所有首一多项式的集合,其范数定义为该函数绝对值在[-1,1]上的最大值,则Tn是其中范数最小的那一个,如果有别的多项式与之范数相同,则那个多项式就是Tn

7.在数值分析中,切比雪夫多项式可以在不降低太大精度的情况下降低差值多项式的次数从而降低数值震荡的可能,切比雪夫多项式提供的插值点能提高拉格朗日插值多项式的精度。

它们的递推公式为

T(n+1)=2xTn-T(n-1).

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