初中数学教学大纲：初中的将军饮马，单垂，双垂辅助线模型

初中几何图形中的辅助线做法可以说是中考中的重点,难点和热点,往往如何添加合适的辅助线孩子们经常是一头雾水,其实还是本质上对常见的数学模型不够熟悉,只有真正的吃透辅助线的做法和一些基本的几何模型,解题的时候才能有文思泉涌,如有神助。

初中的几何变换强调的是以动态思想去处理静态几何问题,初中数学几何变换主要有三大类:平移,翻折和旋转。而往往辅助线的添加是建立在这三大类几何变换上,比如我们这次会讲到的将军饮马模型,角平分线模型等等。

一:将军饮(yìn)马模型(“饮”读第四声,让马喝水的意思)

历史典故:据说,在古希腊有一位聪明过人的学者,名叫海伦。有一天,一位将军向他请教了一个问题:从A地出发到河边饮马,然后再B地,走什么样的路线最短?如何确定饮马的地点?提起路线最短的问题,大家知道:连结两点之间所有线中,最短的是线段。这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢?

解决办法:那聪明的海伦是这样解决的

首先他任意选取A,B两个定点中的一个,假设选取的为B点。

然后过B点作动点P所在直线的对称点B'。

最后连接对称点B'和A点与直线的交点就是所求点。

解决思路:同侧点转化为异侧点,再利用两点之间线段最短解决问题。

推导过程:通过构造对称点,就相当于把之前的折现给它拽直了,转化成直线问题。由对称性质我们知道,PB=PB'。

∴PA+PB=PA+PB'>=AB',当P,A,B三点共线时取等。

例题:大家可以动手做一做

以上就是将军饮马模型的基本图形,而关于将军饮马模型的变形图形实在是太多了,接下来我们拓展一种比较常见的变形图形:

问题背景:假设我现在比较任性,从A点骑着马儿,先去OM这条河上的c点,让马儿喝口水,然后在骑着马去ON这块草坪上D点让马吃过口草,最后再回到B点,问怎样走能够使得路径最短?

解决思路:分别过定点A,B做两条直线的对称点A',B',然后连接两对称点,与直线OM和ON的交点C,D就是所求点。

所以我们可以总结将军饮马类题型的辅助线做法特点:

做定点关于动点所在直线的对称点,

几个动点就做几次对称。

二:角平分线的辅助线做法

模型一:双垂模型

辅助线思路:当题干中角平分线上有一点向一边作垂线,可以选择再做一条垂线,构造双锤模型。

例题赏析:如图所示,在△ABC中,PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2

模型2:截取等长造全等

辅助线思路:在角的两边截取相等的线段构造全等三角形。

例题赏析:如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B. 求证:AB=AC+CD. 

模型三:单垂模型

辅助线思路:当角平分线上有垂线,并且垂足在角平分线上,一般延长垂线构造单垂模型。

例题赏析: 如图4,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D,求证:∠BAD=∠DAC+∠C.

模型四:角平分线+平行线→等腰三角形 

辅助线思路:过∠AOB平分线OC上的一点P,作PE∥OB,交OA于点E,则EO=EP.

在整个初中阶段,几何类综合题目当题干中给出角平分线的时候,如果需要添加辅助线,基本上99%都是上面总结的4种辅助线添加,根据题目条件灵活选用即可。